本人一直从事微分方程与动力系统的研究，曾先后在著名学者王智诚教授和李万同教授的指导下攻读硕士和博士学位。主要研究方向是非局部反应扩散方程的空间动力学理论及其在生态学中的应用。非局部反应扩散方程是近年兴起的有着强烈实际背景、极具生命力但同时具有很大挑战性的一个研究热点，是抛物型方程的一个重要分支。而我们的工作主要涉及：

• 行波解的存在性和渐近稳定性。

  行波现象已被发现广泛地存在于物理、化学、生物、生态、流行病学和神经网络等学科之中．例如，物理学中行波解描述的是物质从一种平衡态到另一平衡态的转移过程，尽管还有更为复杂的情况．这些转移过程通常“忘记”它们的初始条件而反映了介质本身的性质．另外，还有化学反应中物质浓度的变化、生物学中的物种入侵过程、传染病在空间中的传播、神经网络中的神经脉冲等等都可以用行波解来描述，其共同特点是它们在空间上以常数速度传播并且保持形状不变．特别重要的是。行波解所携带的信息从来都不会改变或丢失．由于行波解可以作为系统的稳态解，通常决定着Cauchy问题解的长时间行为，而且可以揭示方程本身所包含的许多性质，所以对它的研究有重要的理论意义．同时，行波解对于数学建模和实际系统的设计具有非常重要的实践意义．我们主要致力于研究非局部反应扩散方程的行波解及其渐近行为。

• Cauchy问题解的存在性、有界性和稳定性。

     这里考虑的主要是来源于自然界中的具有实际背景的数学模型，如捕食-食饵模型、基因突变模型、传染病模型，Kdv模型等等的Cauchy问题解的适定性，当然我们主要考虑了在非局部效应和空间扩散的共同作用下解的存在性、有界性和稳定性等。在现实中，时间滞后和空间扩散现象都是普遍存在的．在生物种群模型中，时间时滞一般表示资源再生时间、成熟周期、哺乳时间和反馈时间等，而在传染病模型中，时间时滞一般表示潜伏期等。同时，象细胞、细菌、化学物质、动物等等，每个个体通常以随机的方式在走动，并且它们在空间上的分布并不是均匀的，这就导致了种群在空间上的扩散过程，为了综合的描述时滞和空间扩散．使得模型更加符合实际，我们将其融合在具有实际背景的数学模型中考虑其解的适定性。

• 分支理论和斑图动力学等等。

     所谓分支是指依赖于某一参数的系统, 当这一参数在某个特定值附近做充分小的扰动变化时, 系统的某些性质会发生本质的变化的现象. 通常我们把这个特定值称为分支点. 斑图 (pattern) 是指在空间或时间上具有某种规律性的非均匀宏观结构, 是普遍存在于自然界之中的. 一般来说, 斑图可以分为两类: 一类是存在于热力学平衡 态条件下的斑图; 一类是离开热力学平衡态条件下产生的斑图. 像有机聚合物中自 组织形成的斑图和化学中晶体结构都属于第一类斑图, 而像水面上的波浪、天上的条状云、动物的花纹都属于第二类. 对于第一类斑图, 由于它的形成可以用统计物理学以及平衡态热力学等原理来解释, 人们对它的形成已经有了比较系统, 深入的了解, 而对后一类型, 热力学原理将不再适用, 人们只能试图从动力学角度对其形 成的原因和规律进行探索. 正如上面所述, 分支问题和斑图生成问题已成为现代科学中一个非常重要且有实际意义的课题.

• 生物数学问题。

         生物数学是近现代应用数学中有着最大进展和发展潜力的领域，数学的几乎所有分支都已经渗透生物学中，并产生了许多对理论数学不具有普适性，但却很适合解决生物学问题的专门技巧与方法。从生物学的应用去划分，有数量分类学、数量遗传学、数量生态学微生物生理学和生物力学等。这些分支是数学与生物学不同领域相结合的产物，在生物学中有明确的研究范围。从研究使用的数学方法划分，生物数学又可分为生物统计学、生物信息论、生物系统论和生物方程等分支。这些分支与前者不同， 它们没有明确的生物学研究对象，只研究那些涉及生物学应用有关的数学方法和理论。我们这里主要考虑数量生态学。

    另外，近年来我们还依托数学-土木联合科研基地新增了土木工程（桥墩的稳定性和非线性分析），深度学习（偏微分方程中的高维算法）等前沿交叉学科课题。

暂无内容

暂无内容