我这学期主讲2019级本科生的《数理统计》专业课，前不久讲完充分统计量这一节，有些思考和大家分享。我和同事用的教材是茆诗松老师的《概率论与数理统计》(第三版)， 由于自己当年读大学时用的是韦来生老师的《数理统计》，因此也参考了一下。韦老师的书有讲完全（完备）统计量，于是自己也给班上的同学补充了该知识点。但是，我发现用经典的定义、定理、例题模式教学之后，学生对充分性和完全性消化不透，于是突发奇想，想到了用核桃作比喻，发现效果还不错，这里和大家分享一下。

       本质上，一个基于样本的统计量, 它的最终目的是去估计某个未知参数，那么该统计量里面所能包含的未知参数θ的有用信息，就是我们需要的“精华”。因此，“取其精华”就是指尽可能充分地保留未知参数θ的有用信息。同理，一个样本中可能会包含关于未知参数θ的冗余信息，如果能完全地去除这些冗余信息，就是“去其糟粕”所体现的思想。因此，一个既充分又完全的统计量，即充分完全统计量，就是指既能充分保留关于参数的有用信息，又能完全剔除关于参数的冗余信息，这便是“取其精华，去其糟粕”含义所在。下面，我们根据如下一张核桃图来详细说明如何用“取其精华，去其糟粕”诠释充分完全统计量。

       我们不妨把关于参数θ的有用信息比作核桃仁，把关于参数θ的冗余信息比作核桃壳。那么“取其精华，去其糟粕”的过程就直白得变成了剥掉核桃壳吃核桃仁的过程。每位同学都有吃核桃的亲身经历，我们当然希望尽可能多得吃到核桃仁，并尽可能不吃到核桃壳。所以充分性可以比喻为充分地保留核桃仁（参数θ的有用信息）。那么，一旦给你一个核桃（样本），你不用任何工具（函数）对它进行加工，则里面的核桃仁（参数θ的有用信息）是充分保留的，所以样本就是一个未经过任何加工的充分统计量。

       换一个角度，我们来认识完全性，即完全去掉参数θ的冗余信息，我们把参数θ的冗余信息比作核桃壳，那么当我们已经完全去掉核桃壳（参数θ的冗余信息），如果再用某种工具（实函数g(.)）对其进行加工，所得之物(g(T))仍然完全地去掉了核桃壳（参数θ的冗余信息）。通过以上方式来讲解充分性和完全性，可以帮助同学们记忆它们的定义、定理，也可以帮助同学们形象地理解充分性和完全性之间的关系。

       讲到最后，我们再举一个例子， 设X=(X_1,⋅⋅⋅,X_n )为从总体N(0,σ^2 )中抽取的简单样本，则

                                                                 T(X)=X_1-X_2 ，

既不是参数σ^2的完全统计量，也不是参数σ^2的充分统计量。按照定义，很容易验证。那么用我们所提出的思想来进行阐述，就可以描述为，通过对样本进行加工得到的这个统计量T(X)，既丢失了核桃仁（参数σ^2的有用信息），又不能把核桃壳（参数σ^2的冗余信息）去干净。

       由于本人知识有限，这点儿教学探索可能会存在缺陷，还请各位读者斧正。